🏠 פיזיקה 2ממ · פואסון ותנאי שפה
חורף תשפ״ד ב׳ · שאלה 4
פואסון ותנאי שפהבינונית משוואת רציפות + דיברגנץ כדורי
כדור שרדיוסו $R$ טעון בצפיפות מטען נפחית $\rho(t)$ אחידה. בתוך הכדור זורם זרם $I(r)=\frac{4\pi\rho(t)vr^3}{R}$ בכיוון הרדיאלי, כאשר $r$ היא הקואורדינטה הרדיאלית ו-$v$ היא מהירות המטענים. הניחו כי $\rho(t=0)=\rho_0$. כיצד תשתנה צפיפות המטען הנפחית בתוך הכדור כתלות בזמן?
התשובה: א
💡 מ-$\vec{J}=I/4\pi r^2\,\hat{r}$ ומשוואת הרציפות $\partial\rho/\partial t=-\vec{\nabla}\cdot\vec{J}$ מתקבלת משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון שפתרונה דעיכה מעריכית $\rho_0 e^{-3vt/R}$.
